2024-2025学年广东省深圳市南山区高三（上）期末数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，N＝{x|2x2+x﹣1≤0}，则M∩∁RN＝（ ）
A．{﹣2，﹣1，1，2} B．{﹣2，1，2} C．{0} D．{﹣1，1}
2．复数
的虚部为（ ）
A．i B．﹣i C．1 D．﹣1
3．已知平面向量
，
满足|
|＝1，
＝（1，
），|
﹣
|＝1，则|
+
|＝（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．已知a＞0，b＞0，a+b＝2ab，则a+b的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．若
，则sinθ＝（ ）
A．
B．
C．
D．
6．设椭圆C：
的一个焦点为F，点O为坐标原点，若C上存在点P使得△OPF为等边三角形，则C的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．设函数f（x）＝x3﹣（a﹣1）x2+x+b，则“a+b＝2”是“f（x）的图象关于（0，1）对称”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
8．图1是由矩形ABFG，直角三角形ABC和菱形BCDE组成的平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠BAC＝90°，∠BCD＝60°，将矩形ABFG，菱形BCDE分别沿AB，BC折起，使得BE与BF重合，连接DG，得到如图2所示的五面体，则该五面体的体积为（ ）
A．1 B．
C．
D．2
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．已知函数f（x）＝cos2x和
，则（ ）
A．f（x）与g（x）有相同的最小正周期
B．f（x）与g（x）在区间
上均单调递减
C．当
时，f（x）与g（x）的图象有且仅有一个交点
D．f（x）与g（x）的图象有相同的对称轴
（多选）10．已知样本数据x1，x2，x3，x4，其中x1＜x2＜x3＜x4，由这组数据得到新样本数据x1，x2+1，x3﹣1，x4，则（ ）
A．两组样本数据的极差一定相等
B．两组样本数据的平均数一定相等
C．两组样本数据的第80百分位数一定相等
D．两组样本数据的方差可能相等
（多选）11．已知函数f（x）的定义域为R，f（0）≠0，且f（1）＝0，若
，则（ ）
A．f（0）＝1
B．f（x）不是偶函数
C．f（x）的一个周期为4
D．f（32+62+92+…+20252）＝﹣1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3a1，且a4＝8，则S5＝ ．
13．设A1，A2，…，A6是圆周上的6个等分点，从这6个点中任选3个，两两相连后得到的三角形是直角三角形的概率为 ．
14．如图所示，已知F1，F2分别为双曲线
的左、右焦点，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，记△AF1F2的内切圆O1的面积为S1，△BF1F2的内切圆O2的面积为S2，则S1+S2的取值范围是
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
．
（1）求B；
（2）设AC边上的高为h，若
，且b＝3，求△ABC周长的取值范围．
16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝BC＝1，AB＝PD＝2，设E为PB的中点．
（1）证明：CE∥平面PAD；
（2）求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值．
17．在平面直角坐标系中，过抛物线C：y2＝2px（p＞0）焦点的直线l，交C于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，且x1x2＝1．
（1）求C的方程；
（2）若C在M，N处的切线交于点G，设切线GM，GN的斜率分别为k1，k2．
（i）证明：k1•k2为定值；
（ii）求△GMN面积的最小值．
18．设函数f（x）＝mx2﹣（2m+4）x+2lnx，m∈R．
（1）当m＝0时，证明：f（x）≤﹣2﹣2ln2；
（2）已知f（x）有两个极值点．
（i）求m的取值范围；
（ii）若曲线C：y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与C有且仅有一个交点，求m的值．
19．设n（n≥3）元正整数集合M＝{a1，a2，…，an}，集合A为M的任意一个非空子集，记A中所有元素之和为S（A）．
（1）若M＝{1，3，9}，求S（A）的所有可能取值；
（2）已知数列{an}为等比数列，且a1＝1．
（i）设Ai，Aj是M的任意两个非空子集，证明：S（Ai）≠S（Aj）；
（ii）若将S（A）的所有可能取值按照从小到大的顺序排列可构成等差数列，求{an}的通项公式．
