2024-2025学年广东省深圳市龙华区高二（上）期末数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（　　）

A．0 B． C． D．

2．（5分）已知直线l1：3x﹣2y+6＝0和直线l2：4x+ay+3＝0，若l1⊥l2，则实数a的值为（　　）

A．﹣6 B． C． D．6

3．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝12，a4＝2，则{an}的公差为（　　）

A．﹣5 B．﹣2 C．﹣1 D．1

4．（5分）如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，，则（　　）

A． B． 

C． D．

5．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5，直线l：mx+y﹣2m﹣3＝0，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（　　）

A．1 B． C．2 D．

6．（5分）已知bn＝lnan（n∈N*），则“{an}为正项等比数列”是“{bn}为等差数列”的（　　）

A．充要条件 

B．充分不必要条件 

C．必要不充分条件 

D．既不充分也不必要条件

7．（5分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，若直线AB1与BD1所成角的余弦值为，则AA1的长为（　　）

A． B．1或 C．12 D．1或12

8．（5分）已知直线l经过抛物线y2＝12x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝3|BF|，则△OAB的面积为（　　）

A． B． C． D．

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

（多选）9．（6分）已知双曲线C的一条渐近线方程为y＝2x，且C过点（，2），则（　　）

A．C的焦点在y轴上 

B．C的方程为 

C．C的焦点到其渐近线的距离为 

D．直线2x﹣y﹣1＝0与C有两个公共点

（多选）10．（6分）已知Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝2，2Sn＝（n+1）an，n∈N*，则（　　）

A．为常数列 

B．为单调递增数列 

C． 

D．的前n项和恒小于1

（多选）11．（6分）如图，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），其左、右焦点分别为F1，F2，直线l与椭圆C相切于点P，过点P与l垂直的直线交椭圆的长轴于点M，PM平分∠F1PF2．过点F2作l的垂线，垂足为N，延长F1P、F2N交于点Q，若cos∠PF1F2＝，|MF1|＝2|MF2|，则下列结论正确的是（　　）

A． 

B． 

C．椭圆C的离心率为 

D．|ON|＝a

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．（5分）已知向量＝（m，2，3），＝（﹣2，4，n），若∥，则m+n＝  ．

13．（5分）已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，F是抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点，若△F1FF2是等边三角形，则该抛物线的方程为        ．

14．（5分）如图，在第一象限，圆∁n（n∈N*）均与直线y＝0和相切，且圆∁n与圆Cn+1外切，设第n个圆的半径为rn，面积为Sn，则＝               ，若r2＝3，则＝                 ．（用含n的式子表示）

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（13分）已知△ABC的三个顶点分别是A（0，4），B（﹣2，0），C（8，0），求：

（1）线段AB的垂直平分线的方程；

（2）△ABC的外接圆的方程．

16．（15分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1＝CD＝AD＝2AB＝2，AB∥CD，点E为棱DD1的中点．

（1）证明：AE∥平面BCD1；

（2）若AD⊥CD，求直线AE到平面BCD1的距离．

17．（15分）在圆O：x2+y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，点P在圆O上运动，Q是线段PD的中点．（当点P经过圆O与x轴的交点时，规定点Q与点P重合）

（1）求点Q的轨迹方程；

（2）设直线与点Q的轨迹相交于不同的两点M、N，若A（0，﹣1），问是否存在实数m使|AM|＝|AN|？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

18．（17分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA＝AD＝CD＝2．BC＝3，E为PD的中点，点F在PC上，且＝．

（1）证明：平面PCD⊥平面PAD；

（2）求PC与平面AEF所成角的正弦值；

（3）若棱PB上一点G满足＝λ，且平面AEF与平面AFG的夹角的余弦值为，求λ．

19．（17分）已知数列{an}，{bn}，{cn}，n∈N*，且bn＝an+1﹣an，cn＝bn+1﹣bn，若{bn}是一个非零常数列，则称{an}是一阶等差数列；若{cn}是一个非零常数列，则称{an}是二阶等差数列．

（1）若a1＝1，b1＝3，cn＝2，试写出二阶等差数列{an}的前4项，并求an；

（2）若a1＝5，且满足bn+1﹣cn＝2an﹣4，

（i）判断{an}是否为二阶等差数列，并证明你的结论；

（ii）记数列{an}的前n项和为Sn，若不等式λ•3n+2Sn﹣4an＜0时于∀n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．