2025年广东省深圳高级中学高中园高考数学一模试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A＝{x|0＜x2＜3}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（　　）

A．{﹣1，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1}

2．（5分）若z＝1+i，则|z2﹣z|＝（　　）

A． B．1 C．0 D．2

3．（5分）已知向量满足，则（　　）

A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1

4．（5分）tan195°＝（　　）

A． B． C． D．

5．（5分）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“a∥b”是“平面α∥平面β”的（　　）

A．充分不必要条件 

B．必要不充分条件 

C．充要条件 

D．既不充分也不必要条件

6．（5分）在等差数列{an}中，a1＝﹣9，a3＝﹣1，记Tn＝a1a2…an（n＝1，2，…），则数列{Tn}（　　）

A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 

C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项

7．（5分）椭圆的上顶点为A，点P，Q是椭圆上关于原点对称的两个点，若直线AP和AQ的斜率之积为，则椭圆的离心率为（　　）

A． B． C． D．

8．（5分）已知直线l：ax+by﹣r2＝0与图C：x2+y2＝r2，点A（a，b），则下列说法错误的是（　　）

A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 

B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 

C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 

D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

（多选）9．（6分）某物理量的测量结果服从正态分布N（10，σ2），下列结论中正确的是（　　）

A．σ越小，该物理量在一次测量中落在（9.9，10.1）内的概率越大 

B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 

C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 

D．该物理量在一次测量中结果落在（9.9，10.2）与落在（10，10.3）的概率相等

（多选）10．（6分）已知函数，则（　　）

A．f（x）的最小正周期为2π 

B．f（x）在上单调递增 

C．当时，f（x）的值域是 

D．f（x）的图象可由的图象向右平移个单位长度得到

（多选）11．（6分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则（　　）

A．直线BC1与DA1所成的角为90° 

B．直线BC1与CA1所成的角为90° 

C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45° 

D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．（5分）二项式展开式中的常数项是                ．

13．（5分）已知双曲线C：x2﹣y2＝1，左、右焦点分别为F1、F2，过F2作倾斜角为60°的直线与双曲线C交于M，N两点，则△MNF1的周长为    ．

14．（5分）学校要举办足球比赛，现在要从高一年级各班体育委员中挑选4名不同的裁判员（一名主裁判，两名不同的助理裁判，一名第四裁判），其中高一共13个班，每个班各一名体育委员，共4个女生，9个男生，要求四名裁判中既要有男生，也要有女生，那么在女裁判员担任主裁判的条件下，第四裁判员是男生的概率为                 ．

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝7，b＝8，．

（1）求A；

（2）求AC边上的高．

16．（15分）已知抛物线C：y2＝2px，斜率为的直线l交抛物线于M，N两点，且M（1，﹣2）．

（1）求抛物线C的方程；

（2）试探究：抛物线C上是否存在点P，使得PM⊥PN？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

17．（15分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，已知AB＝AC＝CD＝2，BC＝AD，AC⊥BD．

（1）若BD＝2，求证：AB⊥CD；

（2）若，求直线AB与平面ACD所成角的正弦值．

18．（17分）已知函数f（x）＝ln（e2x+1）﹣ax﹣|x|，其中a∈R．

（1）当a＝0时，讨论函数f（x）的单调性；

（2）当a＝1时，证明：曲线f（x）是轴对称图形；

（3）若f（x）≤ln2在R上恒成立，求a的取值范围．

19．（17分）若数列{an}（1≤n≤m+k，n∈N*，m，k∈N*）满足an∈{﹣1，1}．定义广义规范数列如下：{an}中共有m+k项（m≥k），其中m项为﹣1，k项为1，且对任意i≤m+k项，a1，a2，…，ai中的﹣1的个数不少于1的个数．当m＝k时，满足上述定义的数列称为规范数列．记f（m，k）表示“广义规范数列”的个数．

（1）若{an}既为等比数列，又为规范数列，求符合条件的所有{an}的通项公式；

（2）求f（m，2），∀m＞2；进一步证明：当m＞k时，f（m，k）＝f（m﹣1，k）+f（m，k﹣1）；

（3）当k＝3时，记Pm+3表示m+3项数列中符合广义规范数列的概率，求证：Pm+3．

（提示：12+22+…+n2）