如何应对二次函数在中考数学压轴题

2024中考已经过去，很多同学反应题目相对前几年，难度有所提升。其实从近几年的高考数学出题走势已经可以看出端倪，高考是教育的指挥棒，当高考试卷的构成出现变化时，中考试卷会多少受一些影响。二次函数作为初中阶段学习的三大函数类型之一，具有综合性强、难度高的特点，要求同学们具有较强的数学综合素质，才能把题目解得完整，很受出题老师的青睐，常常会在试卷的压轴题中有所展现。

二次函数的中考压轴题通常是指在数学考试中难度较大、综合性较强、考查知识点较多的题目。这类题目往往要求学生具备扎实的二次函数基础知识，同时能够灵活运用相关数学思想和方法解决问题。二次函数压轴题常见的类型包括但不限于以下几种：

1.函数图像与性质：考查学生对二次函数图像的平移、对称、开口方向、顶点等性质的理解和应用。

2.函数与方程：涉及二次函数与一元二次方程的关系，如求解二次函数的零点、与x轴的交点、与y轴的交点等。

3.函数与不等式：解决与二次函数相关的不等式问题，如求解不等式组、函数值域、最值问题等。

4.函数与几何：将二次函数与几何图形结合，如求解抛物线与直线、圆等图形的交点，以及利用二次函数解决几何最优化问题。

5.函数与实际问题：将二次函数应用于实际问题中，如物理运动问题、经济问题等，考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。

6.函数与综合题：结合二次函数与其他数学知识（如代数、几何、三角等）的综合应用，考查学生的综合解题能力。

7.函数与创新题：设计新颖的题目，考查学生的创新思维和解决问题的能力。

下面是一道2024年苏州中考数学的有关二次函数压轴题目，就很有代表性：

如图①，二次函数y＝x2+bx+c的图象C1与开口向下的二次函数图象C2均过点A（﹣1，0），B（3，0）．

（1）求图象C1对应的函数表达式；

（2）若图象C2过点C（0，6），点P位于第一象限，且在图象C2上，直线l过点P且与x轴平行，与图象C2的另一个交点为Q（Q在P左侧），直线l与图象C1的交点为M，N（N在M左侧）．当PQ＝MP+QN时，求点P的坐标；

（3）如图②，D，E分别为二次函数图象C1，C2的顶点，连接AD，过点A作AF⊥AD，交图象C2于点F，连接EF，当EF∥AD时，求图象C2对应的函数表达式．

【分析】（1）将A（1，0），B（3，0代入y＝x2+bx+c解方程组即可得到结论；

（2）设C2对应的函数表达式为y＝a（x+1）（x﹣3）（a＜0），将点C（0，6）代入得，a＝﹣2．求得C2对应的函数表达式为y＝﹣2（x+1）6x+3），对称轴为直线x＝1．作直线x＝1，交直线l于点H（如答图①）由二次函数的对称性得到QH＝PH，PM＝NQ，求得PH＝PM．设PH＝t（0＜l＜2），则点P的横坐标为t+1，点M的横坐标为2t+1，解方程即可得到结论；

（3）连接DE，交x轴于点G，过点F作FI⊥ED于点I，过点F作FJ⊥x轴于点J，（如答图②），根据矩形 到现在得到IF＝GJ，IG＝FJ，设C2对应的函数表达式为y＝a（x+1）（x﹣3）（a＜0），求得D（1，﹣4），E（1，﹣4a）．得到tmn∠FAB＝tm∠ADG＝，设GJ＝m（0＜m＜2），则AJ＝2+m，求得FJ＝，F（m+1，），解方程组得到m1＝0（舍去），m2＝，求得a＝﹣，于是得到结论．

【解答】解：（1）将A（1，0），B（3，0代入y＝x2+bx+c得，

解得，

∴图象C1对应的函数表达式：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）设C2对应的函数表达式为y＝a（x+1）（x﹣3）（a＜0），将点C（0，6）代入得，a＝﹣2．

∴C2对应的函数表达式为：y＝﹣2（x+1）6x+3），其对称轴为直线x＝1．

又∵图象C1的对称轴也为直线x＝1．

作直线x＝1，交直线l于点H（如答图①）

由二次函数的对称性得，QH＝PH，PM＝NQ，

又∵PQ＝MP+QM，

∴PH＝PM．

设PH＝t（0＜l＜2），则点P的横坐标为t+1，点M的横坐标为2t+1，

将x＝t+1代入y＝﹣2（x+1）（x﹣3），得yP＝﹣2（t+2）（t﹣2），

将x＝2t+1代入y＝（x+1）（x﹣3），得yM＝（2t+2）（2t﹣2），

∵yP＝yM，

∴﹣2（t+2）（t﹣2）＝（2t+2）（2t﹣2），

即6t2＝12，解得，（舍去）．

∴点P的坐标为（+1，4）；

（3）连接DE，交x轴于点G，过点F作FI⊥ED于点I，过点F作FJ⊥x轴于点J，（如答图②），

∵FI⊥ED，FJ⊥x轴，

∴四边形IGJF为矩形，

∴IF＝GJ，IG＝FJ，

设C2对应的函数表达式为y＝a（x+1）（x﹣3）（a＜0），

∵点D，E分别为二次函数图象C1，C2的顶点，

∴D（1，﹣4），E（1，﹣4a）．

∴DG＝4，AG＝2，EG＝﹣4a，

在Rt△AGD中，，

∵AF⊥AD，

∴∠FAB+∠DAB＝90°，

又∵∠DAG+∠ADG＝90°，

∴∠ADG＝∠FAB，

∴tmn∠FAB＝tm∠ADG＝，

设GJ＝m（0＜m＜2），则AJ＝2+m，

∴FJ＝，F（m+1，），

∵EF∥AD，

∴∠FEl＝∠ADG，

∴tan∠FEl＝tan∠ADG＝＝，

∴EI＝2m，

∵EG＝EI+IG，

∴，

∴①，

∵点F在C2上，a（m+1+1）（m+1﹣3）＝，

即a（m+2）（m﹣2）＝，

∵m+2≠0，

∴a（m﹣2）＝②，

由①，②可得，

解得m1＝0（舍去），m2＝，

∴a＝﹣，

∴图象C2对应的函数表达式为．

解决二次函数压轴题时，学生需要做到以下几点：

熟练掌握二次函数的基本概念、性质和图像特征。

能够灵活运用代数变换、因式分解、配方法等数学工具。

善于将实际问题转化为数学模型，并运用数学知识解决。

注意审题，准确把握题目的要求和条件。

培养良好的解题习惯，如合理安排解题步骤、注意解题过程的逻辑性和完整性。

通过大量练习和总结，学生可以提高解决二次函数压轴题的能力。同时，教师在教学中应注重引导学生深入理解二次函数的内涵，培养学生的数学思维和创新能力。