2024年广东省深圳大学附中创新学校中考数学三模试卷
一.选择题（共10小题，满分30分）
1．（3分）若气温升高2℃记作“+2℃“，则气温下降4℃可记作（ ）
A．﹣2℃ B．﹣4℃ C．4℃ D．﹣6℃
2．（3分）数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（3分）截至2023年底，我国高速公路通车里程已达177000公里，稳居世界第一．数据177000用科学记数法可表示为（ ）
A．0.177×106 B．1.77×105 C．17.7×104 D．177×103
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．2a2•
a3＝a6
C．（﹣a2）3•（a3）2＝﹣a12 D．（3a2b）3＝9a6b3
5．（3分）如图，一束太阳光线照射直角三角板ABC（∠BAC＝30°）后投射在地面上得到线段BD，若∠1＝32°，∠2＝50°，则∠ABD＝（ ）
A．12° B．15° C．18° D．20°
6．（3分）古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有五人共车，二车空；三人共车，十人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐5人，2车空出来；每车坐3人，多出10人无车坐．问人数和车数各多少？设共有x人，y辆车，则可列出的方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（3分）下列命题正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．有一组对角相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
8．（3分）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知AB＝3m，∠ABC＝α，则房顶A离地面EF的高度为（ ）
A．（4+3sinα）m B．（4+3tanα）m
C．（4
）m D．（4
）m
9．（3分）如图，已知⊙O及⊙O外一定点P，嘉嘉进行了如下操作后，得出了四个结论：
①点A是PO的中点；
②直线PQ，PR都是⊙O的切线；
③点P到点Q、点R的距离相等；
④连接PQ，QA，PR，RO，OQ，则
．
对上述结论描述正确的是（ ）
A．只有①正确 B．只有②正确
C．①②③正确 D．①②③④都正确
10．（3分）如图1，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，P，Q两点同时从点O出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．P，Q的运动路线：点P为O﹣A﹣D﹣O，点Q为O﹣C﹣B﹣O．设运动的时间为x秒，P，Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．
B．2cm2 C．
D．
二.填空题（共5小题，满分15分）
11．（3分）因式分解：2n3﹣18n＝ ．
12．（3分）已知方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根是m，则代数式3m2﹣6m+2024的值为 ．
13．（3分）如图，若随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，则只能让一个灯泡发光的概率为 ．
14．（3分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在BC上，且
，反比例函数
的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，顺次连接点D、O、M．若△DOM的面积为4，则k的值为 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，BD⊥AC，点E是AB的中点，BD于CE交于F点，且FB＝FC，AC＝EC＝10时，则BC的长是 ．
三.解答题（共7小题，满分55分）
16．（5分）计算：（
）﹣1+2cos45°﹣|1
|+（3.14﹣π）0．
17．（7分）先化简，再求值：
，其中
．
18．（8分）某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）①此次调查一共随机抽取了 名学生；
②A组人数 ，C组人数 ；
③扇形统计图中，圆心角α＝ 度；
（2）若该校有2800名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数；
（3）学校计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，且DE⊥AC，垂足是点E，延长CA交⊙O于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接DF，若
，CE＝27，求AE的长和cos∠BAF的值．
20．（8分）冰封文教用品商店欲购进A、B两种笔记本，用160元购进的A种笔记本与用240元购进的B种笔记本数量相同，每本B种笔记本的进价比每本A种笔记本的进价贵10元．
（1）求A、B两种笔记本每本的进价分别为多少元；
（2）若该商店A种笔记本每本售价24元，B种笔记本每本售价35元，准备购进A、B两种笔记本共100本，且这两种笔记本全部售出后总获利不小于468元，则最多购进A种笔记本多少本？
21．（9分）根据以下素材，探索完成任务．
如何确定防守方案？ | ||||||||||||||||||
素材1 | 鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线．攻球员位于O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，已知OB＝28m，AB＝8m． | | ||||||||||||||||
素材2 | 通过鹰眼系统监测，足球飞行的水平速度为15m/s．水平距离s（水平距离＝水平速度×时间）与离地高度h的鹰眼数据如表．守门员的最大防守高度为 |
| ||||||||||||||||
问题解决 | ||||||||||||||||||
任务1 | 确定运动轨迹 | 求h关于s的函数表达式． | ||||||||||||||||
任务2 | 探究防守方案 | 若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由． | ||||||||||||||||
任务3 | 拟定执行计划 | 求守门员选择面对足球后退，计算成功防守的最小速度． | ||||||||||||||||
22．（10分）【问题探究】轴对称和旋转是平面几何中图形变化中最重要的两种方式，运用作轴对称图形和旋转的方法可以十分便利的解决一些较困难的几何问题，小智和小慧在学习完这两个部分内容后利分别用不同的方法轻松的解决了一道“网红题”，题目如下：如图①，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC、∠DAE＝45°，求证：BD2+CE2＝DE2；
小智是这样思考的，如图②把△ABD沿AD折叠至△ADG，连接GE，易证△AEG≌△AEC，所以BD＝DG，GE＝EC，∠DGE＝∠ABD+∠ACB＝90°，在Rt△DEG中由勾股定理得：GD2+GE2＝DE2，所以有BD2+CE2＝DE2．
小慧是这样思考的，如图③把△ABD绕点A旋转至△ACF，连接EF，易证△ADE≌△AFE，所以BD＝CF，DE＝EF，∠ECF＝∠ACF+∠ACB＝90°，在Rt△ECF中由勾股定理得：EC2+FC2＝EF2，所以有BD2+CE2＝DE2．
【问题迁移】
Rt△AEF的直角顶点E在菱形ABCD的对角线BD上运动，斜边AF交BD于G点，且∠BAD＝2∠EAF，①如图1，当∠BAD＝90°，
，BG＝3，则EG的值为 ．如图2，当∠BAD＝120°，
，BG＝2，则EG的值为 ．
【问题拓展】
②如图3，在矩形ABCD中，∠MAN＝45°，当CM＝CN时，求证：ND2+MB2＝MC2；
③如图4，在矩形ABCD中，∠MAN＝45°，
，NK∥AD，请直接写出线段ND、NK、MB的数量关系．
