2025年上海高考数学试题及答案

（考试时间120分钟，满分150分）

一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.考生应在答题纸的相应位置直接填写结果）

1．已知全集，集合，则        ．

2．不等式的解集为        ．

3．己知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为        ．

4．在二项式的展开式中，的系数为        ．

5．函数在上的值域为        ．

6．已知随机变量X的分布为，则期望        ．

7．如图，在正四棱柱中，，则该正四棱柱的体积为        ．

8．设，则的最小值为        ．

9．4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有        种．

10．已知复数z满足，则的最小值是        ．

11．小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角        ．（结果用角度制表示，精确到）

12．已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则可的取值范围是      ．

二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.）

13．己知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，则事件发生的概率为（   ）

A． B． C． D．0

14．设．下列各项中，能推出的一项是（   ）

A．，且 B．，且

C．，且 D．，且

15．已知，C在上，则的面积（   ）

A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值

C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值

16．已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（  ）

A． 4个 B．3个 C．1个 D．无数个

三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.）

17．2024年东京奥运会，中国获得了男子米混合泳接力金牌．以下是历届奥运会男子米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列．

(1)求这组数据的极差与中位数；

(2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；

(3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）．

18．如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且．

(1)若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积；

(2)已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD．

19．已知．

(1)若，求不等式的解集；

(2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围；

20．已知椭圆，，A是的右顶点．

(1)若的焦点，求离心率e；

(2)若，且上存在一点P，满足，求m；

(3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围．

21．已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合．

(1)若，判断是否是中的元素，请说明理由；

(2)若，求a的取值范围；

(3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点．

1．

【分析】根据补集的含义即可得到答案.

【详解】根据补集的含义知.

故答案为：.

2．

【分析】转化为一元二次不等式，解出即可.

【详解】原不等式转化为，解得，

则其解集为.

故答案为：.

3．

【分析】直接根据等差数列求和公式求解.

【详解】根据等差数列的求和公式，.

故答案为：

4．

【分析】利用通项公式求解可得.

【详解】由通项公式，

令，得，

可得项的系数为.

故答案为：.

5．

【分析】利用余弦函数的单调性可得.

【详解】由函数在上单调递增，在单调递减，

且，

故函数在上的值域为.

故答案为：.

6．

【分析】根据分布列结合期望公式可求期望.

【详解】由题设有.

故答案为：.

7．

【分析】求出侧棱长和底面边长后可求体积.

【详解】因为且四边形为正方形，故，

而，故，故，

故所求体积为，

故答案为：.

8．4

【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可.

【详解】易知，

当且仅当，即时取得最小值.

故答案为：4

9．288

【分析】先选家长作队尾和队首，再排中间四人即可.

【详解】先选两位家长排在首尾有种排法；再排对中的四人有种排法，

故有种排法.

故答案为：288

10．

【分析】先设，利用复数的乘方运算及概念确定，再根据复数的几何意义数形结合计算即可.

【详解】设，

由题意可知，则，

又，由复数的几何意义知在复平面内对应的点在单位圆内部（含边界）的坐标轴上运动，如图所示即线段上运动，

设，则，由图象可知，

所以.

故答案为：

11．

【分析】先根据在处的旗杆算出阳光和水平面的夹角，然后结合处的旗杆算出斜面角.

【详解】如图，在处，，在处满足，

（其中水平面，是射过处杆子最高点的光线，光线交斜面于），

故设，则，

由勾股定理，，解得，

于是

故答案为：

12．

【分析】利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得.

【详解】若，则，

又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立；

故.

不妨设，则，

不妨设，，

则，则，

则

，

由，，

则，

故.

故答案为：.

13．B

【分析】根据独立事件的概率公式可求.

【详解】因为相互独立，故，

故选：B.

14．D

【分析】利用指数函数的性质分类讨论与1的关系即可判定选项.

【详解】∵，∴，

当时，定义域上严格单调递减，

此时若，则一定有成立，故D正确，C错误；

当时，定义域上严格单调递增，要满足，需，即A、B错误.

故选：D

15．A

【分析】设出曲线上一点为，得出，将三角形的高转化成关于的函数,分析其单调性，从而求解.

【详解】设曲线上一点为，则，则，

，方程为：，即，

根据点到直线的距离公式，到的距离为：，

设，

由于，显然关于单调递减，，无最小值，

即中，边上的高有最大值，无最小值，

又一定，故面积有最大值，无最小值.

故选：A

16．B

【分析】由可知范围，再由三角形三边关系可得的不等关系，结合函数零点解不等式可得.

【详解】由题意，不妨设，

三点均在第一象限内，由可知，，

故点恒在线段上，则有.

即对任意的，恒成立，

令，构造函数，

则，由单调递增，

又，存在，使，

即当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

故至多个零点，

又由，

可知存在个零点，不妨设，且.

①若，即时，此时或.

则，可知成立，

要使、、的值均能构成三角形，

所以恒成立，故，

所以有，解得；

②若，即时，此时.

则，可知成立，

要使、、的值均能构成三角形，

所以恒成立，故，

所以有，解得或；

综上可知，正整数的个数有个.

故选：B.

17．(1)；；

(2)

(3)

【分析】（1）由最长与最短用时可得极差，由中间两数平均数可得中位数；

（2）由古典概型概率公式可得；

（3）先求成绩平均数，再由在回归直线上，代入方程可得，再代入年份预测可得.

【详解】（1）由题意，数据的最大值为，最小值为，

则极差为；

数据中间两数为与，

则中位数为.

故极差为，中位数为；

（2）由题意，数据共个，以上数据共有个，

故设事件“恰有个数据在以上”，

则，

故恰有个数据在以上的概率为；

（3）由题意，成绩的平均数

，

由直线过，

则，

故回归直线方程为.

当时,.

故预测年冠军队的成绩为秒.

18．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由线面角先算出母线长，然后根据侧面积公式求解.

（2）证明平面平面，然后根据面面平行的性质可得.

【详解】（1）由题知，，即轴截面是等边三角形，故，

底面周长为，则侧面积为：;

（2）由题知，则根据中位线性质，，

又平面，平面，则平面

由于，底面圆半径是，则，又，则，

又，则为等边三角形，则，

于是且，则四边形是平行四边形，故，

又平面，平面，故平面.

又平面，

根据面面平行的判定，于是平面平面，

又，则平面，则平面

19．(1)

(2)且.

【分析】（1）先求出，从而原不等式即为，构建新函数，由该函数为增函数可求不等式的解；

（2）求出函数的导数，就分类讨论后可得参数的取值范围.

【详解】（1）因为，故，故，故，

故即为，

设，则，故在上为增函数，

而即为，故，

故原不等式的解为.

（2）在有极大值即为有极大值点.

，

若，则时，，时，，

故为的极小值点，无极大值点，故舍；

若即，则时，，

时，，

故为的极大值点，符合题设要求；

若，则时，，无极值点，舍；

若即，则时，，

时，，

故为的极大值点，符合题设要求；

综上，且.

20．(1)

(2)

(3)

【分析】（1）由方程可得，再由焦点坐标得，从而求出得离心率；

（2）设点坐标，由向量关系坐标化可解得坐标，代入椭圆方程可得；

（3）根据中垂线性质，由斜率与中点坐标得直线方程，联立直线与椭圆方程，将钝角条件转化为向量不等式，再坐标化利用韦达定理代入化简不等式求解可得范围.

【详解】（1）由题意知，，则，

由右焦点，可知，则，

故离心率.

（2）由题意，

由得，，

解得，代入，

得，又，解得.

（3）由线段的中垂线的斜率为，所以直线的斜率为，

则，解得，

由得中点坐标为，

故直线，显然直线过椭圆内点，

故直线与椭圆恒有两不同交点，

设，

由消得，

由韦达定理得，

因为为钝角，则，且，

则有，

所以，

即，解得，

又，

故，即的取值范围是.

21．(1)不是；

(2)；

(3)证明见解析.

【分析】（1）直接代入计算和即可；

（2）法一：转化为在实数使得，分析得，再计算得，最后根据的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线与该函数有两个交点，将用表示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案；

（3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出时解析式，再分析出，最后对的范围进行分类讨论即可.

【详解】（1）（1），，则不是中的元素.

（2）法一：因为，则存在实数使得，且，

当时，，其在上严格单调递增，

当时，，其在上也严格单调递增，

则，则，

令，解得，则，

则.

法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点，

由图知，假设交点分别为，，

联立方程组得

（3）（3）对任意，因为其是偶函数，

则，而，

所以，

所以，因为，则，

所以，所以，

所以当时，，，则，

，则，

而，，

则，则，

所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下：

其中，但其对应的值均未知.

首先说明，

若，则，易知此时，

则，所以，而时，，

所以，与矛盾，所以，即，

令，则，

当时，即使让，此时最多7个零点，

当时，若，此时有5个零点，

故此时最多5个零点；

当时，若，此时有5个零点，

故此时最多5个零点；

当时，若，此时有3个零点，

若，则，易知此时，

则，所以，而时，，

所以，与矛盾，所以，

则最多在之间取得6个零点，

以及在处成为零点，故不超过9个零点.

综上，零点不超过9个.