2024年上海市高考数学试卷

一、填空题（本大题共12题，满分54分．其中第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．

1．（4分）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{2，4}，则＝         ．

2．（4分）已知，则f（3）＝            ．

3．（4分）已知x∈R，则不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为            ．

4．（4分）已知f（x）＝x3+a，x∈R，且f（x）是奇函数，则a＝  ．

5．（4分）已知k∈R，＝（2，5），∥，则k的值为    ．

6．（4分）在（x+1）n的二项展开式中，若各项系数和为32，则x2项的系数为    ．

7．（5分）已知抛物线y2＝4x上有一点P到准线的距离为9，那么P到x轴的距离为             ．

8．（5分）某校举办科学竞技比赛，有A、B、C3种题库，A题库有5000道题，B题库有4000道题，C题库有3000道题．小申已完成所有题，他A题库的正确率是0.92，B题库的正确率是0.86，C题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是                 ．

9．（5分）已知虚数z，其实部为1，且，则实数m为  ．

10．（5分）设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值     ．

11．（5分）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，BC＝CD，存在点A满足∠BAC＝16.5°，∠DAC＝37°，则∠BCA＝      ．（精确到0.1度）

12．（5分）无穷等比数列{an}满足首项a1＞0，q＞1，记In＝{x﹣y|x，y∈[a1，a2]∪[an，an+1]}，若对任意正整数n，集合In是闭区间，则q的取值范围是        ．

二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分．

13．（4分）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（　　）

A．气候温度高，海水表层温度就高 

B．气候温度高，海水表层温度就低 

C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 

D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势

14．（4分）下列函数f（x）的最小正周期是2π的是（　　）

A．sinx+cosx B．sinxcosx 

C．sin2x+cos2x D．sin2x﹣cos2x

15．（5分）定义一个集合Ω，集合元素是空间内的点集，任取P1，P2，P3∈Ω，存在不全为0的实数λ1，λ2，λ3，使得．已知（1，0，0）∈Ω，则（0，0，1）∉Ω的充分条件是（　　）

A．（0，0，0）∈Ω B．（﹣1，0，0）∈Ω 

C．（0，1，0）∈Ω D．（0，0，﹣1）∈Ω

16．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，定义集合M＝{x0|x0∈R，x∈（﹣∞，x0），f（x）＜f（x0）}，在使得M＝[﹣1，1]的所有f（x）中，下列成立的是（　　）

A．存在f（x）是偶函数 

B．存在f（x）在x＝2处取最大值 

C．存在f（x）为严格增函数 

D．存在f（x）在x＝﹣1处取到极小值

三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18＝78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

17．（14分）如图为正四棱锥P﹣ABCD，O为底面ABCD的中心．

（1）若AP＝5，，求△POA绕PO旋转一周形成的几何体的体积；

（2）若AP＝AD，E为PB的中点，求直线BD与平面AEC所成角的大小．

18．（14分）已知f（x）＝logax（a＞0，a≠1）．

（1）若y＝f（x）过（4，2），求f（2x﹣2）＜f（x）的解集；

（2）存在x使得f（x+1）、f（ax）、f（x+2）成等差数列，求a的取值范围．

19．（14分）为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：

（1）该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数约为多少？

（2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）．

（3）是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？

20．（18分）已知双曲线Γ：＝1，（b＞0），左右顶点分别为A1，A2，过点M（﹣2，0）的直线l交双曲线Γ于P、Q两点，且点P在第一象限．

（1）当离心率e＝2时，求b的值；

（2）当，△MA2P为等腰三角形时，求点P的坐标；

（3）连接OQ并延长，交双曲线Γ于点R，若，求b的取值范围．

21．（18分）对于一个函数f（x）和一个点M（a，b），定义s（x）＝（x﹣a）2+（f（x）﹣b）2，若存在P（x0，f（x0）），使s（x0）是s（x）的最小值，则称点P是函数f（x）到点M的“最近点”．

（1）对于（x＞0），求证：对于点M（0，0），存在点P，使得点P是f（x）到点M的“最近点”；

（2）对于f（x）＝ex，M（1，0），请判断是否存在一个点P，它是f（x）到点M的“最近点”，且直线MP与f（x）在点P处的切线垂直；

（3）已知f（x）存在导函数f′（x），函数g（x）恒大于零，对于点M1（t﹣1，f（t）﹣g（t）），点M2（t+1，f（t）+g（t）），若对任意t∈R，存在点P同时是f（x）到点M1与点M2的“最近点”，试判断f（x）的单调性．