2025年河北张家口中考数学试题及答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．）

1．从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（    ）

A．   B．   C．   D．  

2．榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则（    ）

A． B． C． D．

3．计算：（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

4．“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（    ）

A． B． C． D．

5．一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左主视图视图为（    ）

A． B． C． D．

6．若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

7．抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有，，中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（    ）

A． B． C． D．

8．若，则（    ）

A． B． C．3 D．6

9．如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ）

A． B． C． D．

10．在反比例函数中，若，则（   ）

A． B． C． D．

11．如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（    ）

A． B． C． D．

12．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（   ）

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）

13．计算：     ．

14．平行四边形的一组邻边长分别为，，一条对角线长为．若为整数，则的值可以为     ．（写出一个即可）

15．甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则     ．

16．2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”，图是一幅眼肌运动训练图，其中数字对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为     ．（参考数据：，）

三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．

17．（1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集；

（2）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集；

（3）直接写出不等式组的解集．

18．（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程．

（2）计算：

19．如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，．

(1)求证：；

(2)若，求证：．

20．某工厂生产，，，四种产品．为提升产品的竞争力，该工厂计划对部分种类的产品优化生产流程，降低成本；对其他种类的产品增加研发投入，提升品质．经研究，该工厂做出了甲、乙两种调整方案，这两种方案将对四种产品的成本产生不同的影响．下面是该工厂这四种产品的部分信息：a．调整前，各产品年产量的不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．b．各产品单件成本的核算情况统计表及说明．说明：对于统计表中的数据，方案甲的平均数与调整前的相同，方案乙的中位数与调整前的相同．根据以上信息，解答下列问题：

(1)求调整前产品的年产量；

(2)直接写出，的值；

(3)若调整后这四种产品的年产量均与调整前的相同，请通过计算说明甲、乙两种方案哪种总成本较低．

21．如图1，图2，正方形的边长为5．扇形所在圆的圆心在对角线上，且不与点重合，半径，点，分别在边，上，，扇形的弧交线段于点，记为．

(1)如图1，当时，求的度数；

(2)如图2，当四边形为菱形时，求的长；

(3)当时，求的长．

22．一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为的铁棒从加热到伸长了．

(1)原长为的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）．

(2)求铁的线膨胀系数；若原长为的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量．

(3)将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量．

23．综合与实践

［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图），需找到合适的切割线．

［模型］已知矩形（数据如图所示）．作一条直线，使与所夹的锐角为，且将矩形分成周长相等的两部分．

［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题．

［探究］根据以上描述，解决下列问题．

［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题．

(1)图中，矩形的周长为______；

(2)在图的基础上，用尺规作图作出直线（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）；

(3)根据淇淇的作图过程，请说明图中的直线符合要求．

(4)如图，若直线将矩形分成周长相等的两部分，分别交边，于点，，过点作于点，连接．

当时，求的值；

当最大时，直接写出的长．

24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为．抛物线经过点．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为，．

(1)求，的值及点的坐标．

(2)点在上，到轴的距离为．判断能否经过点，若能，求的值；若不能，请说明理由．

(3)直线交于点，点在线段上，且点的横坐标是点横坐标的一半．

①若点与点重合，点恰好落在上，求的值；

②若点为直线与的唯一公共点，请直接写出的值．

1．B

【分析】本题考查了有理数的加法的应用，根据题意计算得出，找到显示为的即可求解．

【详解】解：

故选：B．

2．C

【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，结合题意，即可求解．

【详解】解：∵，

∴，

∵，

∴，

故选：C．

3．B

【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式直接计算，即可求解．

【详解】解：

故选：B．

4．C

【分析】本题考查了相似图形的性质，设该化石的实际长度为，根据题意得出，即可求解．

【详解】设该化石的实际长度为，依题意，

，

解得：

故选：C．

5．A

【分析】根据画三视图的方法，发挥空间想象能力，结合主视图和俯视图，从左侧看下方是一个长方形，上面中间是一个小正方形，据此即可求解．

【详解】解：从左侧看下方是一个长方形，上面中间是一个小正方形，

故选：A．

6．C

【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限．

【详解】解：原方程展开并整理为标准形式：

其中，，．

∴，．

∴点即的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限．

故选：C．

7．A

【分析】本题考查了根据概率求数量，根据题意得出数字有个，数字有2个，则数字只有个，结合选项，即可求解．

【详解】解：正方体共6个面，向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，

∴数字有个，数字有2个，则数字只有个

选项A中数字有2个，符合题意

故选：A．

8．B

【分析】本题考查了分式的化简求值，将分式化简后代入求值，即可求解．

【详解】解：

当时，原式

故选：B．

9．D

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当时，可证明，由平行线的性质得到，，则可证明，据此可判断A、B；由平行线的性质可得，则，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明．

【详解】解：A、∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，故A不符合题意；

B、∵，

∴，

∵，

∴，

∴，故B不符合题意；

C、∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，故C不符合题意；

D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意；

故选：D．

10．B

【分析】本题考查了反比例数的性质，根据反比例函数性质，将不等式转化为关于的范围求解．

【详解】解：∵，，当时，随的增大而减小，

当时，，

当时，

∴当时，，

故选：B．

11．D

【分析】本题考查了矩形的折叠问题，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键；结果矩形的性质的可得，，则，进而根据折叠的性质得出，，即可求解．

【详解】解：∵四边形是矩形，

∴，

∴

∵折叠

∴

∴

∵，即

∴，故A不正确

∵

∴，故B不正确

∵折叠，

∴

∵，故C不正确，D选项正确

故选：D．

12．A

【分析】本题考查了坐标与图象，一次函数的平移，待定系数法求得直线的解析式为，根据选项判断平移方式，结合题意，即可求解．

【详解】解：设直线的解析式为，代入

∴

∴

∴直线的解析式为

∵，

A. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位，

∴直线平移后的解析式为，此时经过原点，对应的经过整点，符合题意，

B. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位，

∴直线平移后的解析式为，此时原点在下方，对应的在整点上方，不符合题意，

C. 当为时，平移方式为向右平移个单位，，

∴直线平移后的解析式为，此时点在正方形内部，不符合题意，

D. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位，

∴直线平移后的解析式为，此时点和在正方形内部，不符合题意，

故选：A．

13．

【分析】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解题的关键．

直接根据合并同类项法则计算即可．

【详解】解：，

故答案为：．

14．（答案不唯一）

【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形三边关系，不等式组的整数解，根据题意得出，进而写出一个整数解即可求解．

【详解】解：依题意，

∴，

∵为整数，

∴可以是，，，，

故答案为：（答案不唯一）．

15．99

【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，一元一次方程的应用，由题意可知：重叠部分为：，设叠部分的长度为k，则，，根据重叠后的总长度为81为等量关系列出关于k的一元一次方程，求解即可得出答案．

【详解】解：由题意可知：重叠部分为：，

设重叠部分的长度为k，则，，

重叠后的总长度为：，即，

代入，得：，

解得：，

∴，，

∴，

故答案为：99．

16．

【分析】如图所示，设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作于点D，首先得到线段的长与其他的都不相等，然后求出，解直角三角形求出，然后利用三线合一求解即可．

【详解】如图所示，设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作于点D

由图可得，线段的长与其他的都不相等，

∵其中数字对应的点均匀分布在一个圆上，

∴

∴相邻两个数字与圆心组成的圆心角为

∴

∴

∵

∴

∴，即

∴

∵，

∴．

∴这条线段的长为．

故答案为：．

【点睛】此题考查了圆心角，解直角三角形，等边对等角，三线合一性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．

17．（1），见解析；（2），见解析；（3）

【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，求不等式组的解集，熟知解不等式和解不等式组的方法是解题的关键．

（1）把不等式两边同时除以2求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可；

（2）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可；

（3）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．

【详解】解：（1）

不等式两边同时除以2得，

数轴表示如下所示：

（2）

移项得：，

合并同类项得：，

系数化为1得：，

数轴表示如下所示：

（3）

解不等式①得：，

解不等式②得：，

∴原不等式组的解集为．

18．（1）原计算第一步开始出错；；（2）

【分析】本题考查了有理数混合运算，实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键；

（1）第一步计算分配律时符号出错；

（2）按照实数的混合运算法则进行，先计算括号里面的，再从左到右依次计算乘除．

【详解】解：（1）原计算第一步开始出错；

；

（2）

19．(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质；

（1）先证明，结合，，即可得到结论；

（2）先证明，结合即可得到结论.

【详解】（1）证明：∵，

∴，

∵，，

∴；

（2）证明：∵，

∴，

∵，

∴，即.

20．(1)万件

(2)，

(3)甲种方案总成本较低

【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，求平均数与中位数，从统计图表中获取信息是解题的关键；

（1）先求得总产量，然后求得的年产量，最后求得产品的年产量；

（2）根据方案甲的平均数与调整前的相同，方案乙的中位数与调整前的相同，即可求解；

（3）分别计算甲、乙两种方案的成本，比较大小，即可求解．

【详解】（1）万件，

产品的年产量为：万件，

∴调整前产品的年产量为：万件

（2）∵方案甲的平均数与调整前的相同，

∴

解得：，

∵方案乙的中位数与调整前的相同，调整前，中位数为

调整后为，

∴

（3）解：方案甲的总成本为：（万元）

方案乙的总成本为：（万元）

∴甲种方案总成本较低

21．(1)

(2)

(3)或

【分析】（1）根据题意证明出四边形是正方形，得到，然后利用圆周角定理求解即可；

（2）首先证明出是等边三角形，如图所示，连接交于点G，求出，，然后得到是等腰直角三角形，进而求解即可；

（3）分两种情况，根据弧长公式求解即可．

【详解】（1）∵正方形的边长为5．

∴

∵当时

∴

∵

∴

∴四边形是菱形

∵

∴四边形是正方形

∴

∴；

（2）∵四边形为菱形

∴

∵扇形所在圆的圆心在对角线上，

∴

∴是等边三角形

如图所示，连接交于点G

∴

∴

∴

∴

∵

∴是等腰直角三角形

∴

∴；

（3）如图所示，当是劣弧时，

∵，半径

∴；

如图所示，当是优弧时，

∵，半径

∴

∴．

综上所述，的长为或．

【点睛】此题考查了正方形的性质，圆周角定理，求弧长，勾股定理，菱形的性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．

22．(1)

(2)，

(3)

【分析】本题考查了科学记数法，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键；

（1）根据，代入数据进行计算即可求解；

（2）根据定义求得铁的线膨胀系数，进而设该铁棒温度的增加量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解；

（3）设该铁棒温度的增加量为，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解．

【详解】（1）解：，

答：该铜棒的伸长量．

（2）解：，

解得：，

设该铁棒温度的增加量为，根据题意得，

，

解得：，

答：铁的线膨胀系数，该铁棒温度的增加．

（3）解：设该铁棒温度的增加量为，根据题意得，

，

解得：，

答：该铁棒温度的增加量为．

23．(1)；

(2)见解析；

(3)；

(4)；．

【分析】根据矩形的周长公式计算即可；

以点为圆心为半径画弧，交于点，延长交于点，连接，由作图可知是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可证，根据矩形的性质可证，根据全等三角形的性质可证，，从而可证直线把矩形分成了周长相等的两部分，所以线段即为所求；

根据矩形的性质可证四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可证，根据平行四边形的性质和矩形的性质可以证明书，，所以可以证明，所以直线把矩形分成了周长相等的两部分，从而可证直线符合要求；

过点作，连接交于点，过点作于点，过点作，根据矩形的性质可得：，，，根据勾股定理可以求出，利用可证，根据全等三角形的性质可得：，，从而可得：，，根据等腰直角三角形的性质可得：，，根据正切的定义可以求出的正切；

连接交于点，把矩形分成了周长相等的两部分，点为和的中点，利用勾股定理可以求出，，过点作，则，根据相似三角形的性质可以求出，，，在中，利用勾股定理可得：，在中，利用勾股定理即可求出的长度．

【详解】（1）解：四边形是矩形，

，

，，

，，

矩形的周长为，

故答案为：；

（2）解：如下图所示，

以点为圆心为半径画弧，交于点，延长交于点，线段即为所求，

，

，

，

是等腰直角三角形，

，

矩形的对角线交于点，

，

四边形是矩形，

，，

，

在和中，，

，

，

，

，

直线把矩形分成周长相等的两部分；

（3）证明：四边形是矩形，

，，

，

，

，

四边形是平行四边形，

，

，

直线是的垂直平分线，

，

，

，，

，

，

把矩形分成了周长相等的两部分，

直线符合要求；

（4）解：如下图所示，过点作，连接交于点，过点作于点，过点作，

四边形是矩形，且直线将矩形分成周长相等的两部分，

则点是矩形的对角线与的交点，

点是的中点，

，

，，，

，

是等腰直角三角形，

，

，

四边形是矩形，

，

，

在和中，，

，

，，

，

，

，

于点，

，

是等腰直角三角形，

，，

；

解：如下图所示，连接交于点，

把矩形分成了周长相等的两部分，

点为和的中点，

，

点在以为直径的上，

当与相切时，最大，

，，

，

，

，

过点作，

，

四边形是矩形，

，

则，

，

，

，，

，

，

是的切线，

，

．

【点睛】本题主要考查了矩形的性质、中心对称图形的性质、圆的基本性质、切线的性质、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质，本题的综合性较强，难度较大，需要综合运用矩形、圆、切线等图形的性质，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用直角三角形的性质求解．

24．(1)，

(2)不能，理由见解析

(3)①；②

【分析】本题考查了二次函数的综合，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与二次函数交点问题，熟练掌握以上知识是解题的关键；

（1）待定系数法求解析式即可求解；

（2）根据题意得出，代入抛物线解析式得出或，而经过点和，即可得出结论；

（3）①先求得，和代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解；

②根据题意得出直线的解析式为，根据经过点，得出，联立直线解析式，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，将代入，得出①，根据点为直线与的唯一公共点，得出②，联立解得的值，即可求解．

【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，顶点为

∴

解得：，

∴，

∴；

（2）∵点在（第一象限）上，到轴的距离为．则

∴当时，

解得：或

∴或

∵抛物线经过点，对称轴为直线

∴经过点和

∴不能经过点,

（3）①∵，

当重合时，则

∵是的中点，

∴,

∵点恰好落在上，经过点

∴

解得：；

②∵直线交于点，，

∴，

∴直线的解析式为，

∵经过点，

∴，

∴，

∴

联立

消去得，

∴，则

∵点的横坐标是点横坐标的一半．

∴即，

将代入，

∴①

∵点为直线与的唯一公共点，

∴②

联立①②得：或，

当时，交点不在公共点不在第一象限，不符合题意，

∴．