2025年吉林长春中考数学试题及答案

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家．如果水位下降记作，那么水位上升记作（　　）

A． B． C． D．

2．下面几何体中为圆锥的是（　　）

A． B．

C． D．

3．下列计算一定正确的是（　　）

A． B．

C． D．

4．下列不等式组无解的是（　　）

A． B． C． D．

5．如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（　　）

A．米 B．米

C．米 D．米

6．已知点、在同一正比例函数的图象上，则下列结论正确的是（　　）

A． B． C． D．

7．将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　）

A． B．

C． D．

8．在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（　　）

A．24 B．27 C．45 D．50

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．

9．8的立方根是     ．

10．写出的一个同类项：      ．

11．已知，则代数式的值为      ．

12．若扇形的面积是它所在圆的面积的，则这个扇形的圆心角的大小是      度．

13．图①是一个正十二面体，它的每个面都是正五边形，图②是其表面展开图，则为      度．

14．如图，在边长为4的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上．连接，作于点，交于点．给出下面四个结论：

①；

②；

③当时，；

④点与点之间的距离的最小值为．

上述结论中，正确结论的序号有      ．

三、解答题：本题共10小题、共78分．

15．先化简．再求值：，其中．

16．长春市人民广场是中心景观类环岛型交通广场，以开阔的空间、精美的建筑和多彩的绿化而驰名．甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶入人民广场，它们各自从A、B、C三个出口中随机选择一个出口驶出．用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率．

17．如图，的对角线、相交于点．求证：是菱形．

18．小吉和小林从同一地点出发跑800米，小吉的平均速度是小林的1.25倍，结果小吉比小林少用40秒到达终点．求小林跑步的平均速度．

19．图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上．

(1)在图①中，是面积最大的等腰三角形；

(2)在图②中，是面积最大的直角三角形；

(3)在图③中，是面积最大的等腰直角三角形．

20．某校综合实践活动中，数学活动小组要研究九年级男生臂展（两臂左右平伸时两手中指指尖之间的距离）与身高的关系．小组成员在本校九年级男生中随机抽取20名男生，测量他们的臂展与身高，并对得到的数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分的信息：

a．20名男生的臂展与身高数据如下表：

b．20名男生臂展与身高数据的平均数、中位数、众数如下表：

c．20名男生臂展的频数分布直方图如图①：（将臂展数据分成5组：，）

d．20名男生臂展与身高的散点图如图②，活动小组发现图中大部分点落在一条直线附近的狭长带形区域内．他们利用计算机和简单统计软件得到了描述臂展与身高之间关联关系的直线．

根据以上信息，回答下列问题：

(1)写出表中、的值：，；

(2)该校九年级有男生240人，估计其中臂展大于或等于的男生人数；

(3)图②中直线近似的函数关系式为，根据直线反映的趋势，估计身高为男生的臂展长度．

21．随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后、停工保养．保养结束后又和乙机器人一起继续工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量（件）与乙机器人工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示．

(1)甲机器人停工保养的时间为分钟，；

(2)求所在直线对应的函数表达式；

(3)若该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为分钟．

22．数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆

【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆．

【探究一】线段的最小覆盖圆

线段的覆盖圆有无数个，其中，以为直径的圆是其最小覆盖圆．

理由如下：易知线段的最小覆盖圆一定经过点、点．如图①，以为直径作，再过、两点作（与不重合），连结．在中，有（）．

，

，即的直径大于的直径．

是线段的最小覆盖圆．“”处应填写的推理依据为．

【探究二】直角三角形的最小覆盖圆

要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为【探究一】中线段的最小覆盖圆问题．这样就可以先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三角形的最小覆盖圆．如图②，在中，．是以为直径的圆．请你判断点与的位置关系，并说明理由．

又由【探究一】可知，是最长边的最小覆盖圆，所以，是的最小覆盖圆．

【拓展应用】矩形的最小覆盖圆

如图③，在矩形中，，．

（1）用圆规和无刻度的直尺在图③中作矩形的最小覆盖圆：（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描点）

（2）该矩形的最小覆盖圆的直径为 ；

（3）若用两个等圆完全覆盖矩形．则这样的两个等圆的最小直径为．

23．如图，在中，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段．

(1)线段的长为；

(2)当时，求的长；

(3)当点在边上时，求证：；

(4)当点到的距离是点到距离的2倍时，直接写出的长．

24．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点．点、是该抛物线上的两点，横坐标分别为、，已知点，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，构造四边形．

(1)求该抛物线所对应的函数表达式；

(2)当两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点的坐标；

(3)设抛物线在、两点之间的部分（含、两点）为图象．当时，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为．求的值；

(4)连结、，当时，直接写出的取值范围（这里、、均是大于且小于的角）．

1．B

【分析】本题主要考查了具有相反意义的量，正负数是一对具有相反意义的量，若水位下降用“”表示，那么水位上升就用“”表示，据此求解即可．

【详解】解：如果水位下降记作，那么水位上升记作，

故选：B．

2．C

【分析】本题考查认识立体图形，掌握几种常见几何体的形体特征是正确判断的前提．

根据圆锥的底面是圆，侧面是曲面进行判断即可．

【详解】解：A、该几何体为正方体，不符合题意；

B、该几何体为球，不符合题意；

C、该几何体为圆锥，符合题意；

D、该几何体为是三棱锥，不符合题意．

故选：C．

3．A

【分析】本题主要考查了积的乘方计算，同底数幂乘法计算，合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案．

【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意；

B、，原式计算错误，不符合题意；

C、，原式计算错误，不符合题意；

D、，原式计算错误，不符合题意；

故选：A．

4．B

【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的解集，根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出每个选项中不等式组的解集即可得到答案．

【详解】解：A、原不等式组的解集为，不符合题意；

B、原不等式组无解，符合题意；

C、原不等式组的解集为，不符合题意；

D、原不等式组的解集为，不符合题意；

故选：B．

5．B

【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，掌握三角函数的定义是解题的关键．

由题意得四边形是矩形，则，那么，再解即可．

【详解】解：由题意得，四边形是矩形，

∴，

∴，

由题意得，，

∴，

∴，

故选：B．

6．A

【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质判断即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．

【详解】解：∵点、在同一正比例函数的图象上，

∴，，

∴，

∵，

∴正比例函数的图象经过二、四象限，当时，当时，

∵，

∴，，

∴选项正确，选项错误，

故选：．

7．D

【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．

由折叠可得：，，则，那么，继而根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理逐一判断即可．

【详解】解：由折叠可得：，，

∴，故A正确，不符合题意；

∴，

∴，，

∴，，

∴，

∴，故B正确，不符合题意；

∵，

∴，，

∴，，

∴，故C正确，不符合题意；

∵，

∴，，，

∴，故D错误，符合题意，

故选：D．

8．C

【分析】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合，掌握待定系数法求反比例函数解析式，代入求值的计算方法是解题的关键．

先求出关于的函数解析式，再分别求出，时的函数值，然后根据反比例函数的性质求出的取值范围，即可判断．

【详解】解：由题意设关于的函数解析式为：，

代入点得：，

解得：，

∴关于的函数解析式为，

当时，；当时，，

∵，

∴在第一象限内，随着的增大而减小，

∴，

∴的值可以为，

故选：C．

9．2

【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．根据立方根的定义即可求解．

【详解】解：，

8的立方根是2．

故答案为：2．

10．（答案不唯一）

【分析】本题考查了同类项的定义，含有相同的字母并且相同字母的指数也相同的项为同类项，据此进行作答即可．

【详解】解：是的一个同类项，

故答案为：（答案不唯一）．

11．3

【分析】本题主要考查了求代数式的值，掌握整体思想是解题的关键．

将化为，再整体代入求解即可．

【详解】解：∵，

∴

，

故答案为：3．

12．

【分析】本题考查了扇形面积公式，圆的面积公式，掌握扇形面积是解题的关键．

设扇形的圆心角度数为，半径为，由扇形面积公式和圆的面积公式得到，即可求解．

【详解】解：设扇形的圆心角度数为，半径为，

由题意得，

解得：，

故答案为：．

13．

【分析】本题考查的是正多边形的内角与外角的问题，先求解正五边形的每一个内角为：，再进一步求解即可.

【详解】解：∵正五边形的每一个内角为：，

∴，

故答案为：

14．①②④

【分析】根据正方形的性质可得，结合，可得，故①符合题意；证明，可得，故②符合题意；当时，，可得，，可得，故③不符合题意；如图，取的中点，连接，可得在以为圆心，为直径的圆上，当共线时，最小，再进一步可判断④.

【详解】解：∵正方形，

∴，，，，

∵，

∴，

∵，

∴，故①符合题意；

∵，，

∴，

∴，故②符合题意；

当时，，

∴，，

∴，故③不符合题意；

如图，取的中点，连接，

∵，

∴在以为圆心，为直径的圆上，

当共线时，最小，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴点与点之间的距离的最小值为．故④符合题意；

故答案为：①②④

【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，点到圆上各点距离的最小值的含义，本题难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键.

15．，4

【分析】本题主要考查整式的混合运算，根据完全平方公式将括号展开后合并得最简结果，再把代入计算即可．

【详解】解：

，

当时，原式．

16．

【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．

先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．

【详解】解：由题意得，可画树状图为：

由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲、乙两辆车从同一出口驶出的结果数有3种，

∴这甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率是．

17．见解析

【分析】本题考查了菱形的判定，勾股定理逆定理，熟练掌握菱形的几种判定定理是解题的关键．

先由勾股定理逆定理得到，再根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可证明．

【详解】证明：∵，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∵四边形是平行四边形，

∴四边形是菱形．

18．小林跑步的平均速度为4米每秒

【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．

设小林跑步的平均速度为米每秒，则小吉的平均速度为米每秒，分别表示出时间，根据“小吉比小林少用40秒到达终点”建立分式方程求解，再检验即可．

【详解】解：设小林跑步的平均速度为米每秒，则小吉的平均速度为米每秒，

由题意得：，

解得：，

经检验，是原方程的解，且符合题意，

∴原方程的解为：，

答：小林跑步的平均速度为4米每秒．

19．(1)见解析

(2)见解析

(3)见解析

【分析】本题主要考查了格点作图，勾股定理及其逆定理，网格中求三角形面积，熟知相关知识是解题的关键．

（1）根据面积最大，且为等腰三角形，顶点均在格点上；

（2）根据面积最大，且为直角三角形，顶点均在格点上；

（3）作个腰长为的等腰直角三角形，顺次连接A、B、C，则即为所求．

【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）解；如图所示，即为所求；

（3）解：如图所示，即为所求．

20．(1)；

(2)人

(3)身高为男生的臂展长度约为.

【分析】本题考查的是从统计图表，以及函数图象中获取信息，利用样本估计总体；

（1）根据中位数与众数的含义可得答案；

（2）由表格信息可得臂展大于或等于170cm的男生人数的占比为，再乘以总人数即可；

（3）把代入即可得到答案.

【详解】（1）解：由表格信息可得：；

；

（2）解：该校九年级有男生240人，估计臂展大于或等于170cm的男生人数为：

（人）；

（3）解：∵，

当时，，

∴身高为男生的臂展长度约为.

21．(1)，

(2)

(3)该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为分钟.

【分析】本题考查的是一次函数的实际应用；

（1）由图象可得：甲机器人停工保养的时间，再计算甲乙机器人的工作效率，再列式计算求解的值即可；

（2）由甲乙机器人的效率为每分钟件，可得所在直线对应的函数表达式为：，再化简即可；

（3）把代入，进一步即可得到答案.

【详解】（1）解：由图象可得：甲机器人停工保养的时间为分钟；

∵，

∴（件）；

（2）解：∵甲乙机器人的效率为每分钟件，

∴所在直线对应的函数表达式为：；

（3）解：当时，

∴，

解得：，

∴该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为分钟.

22．探究一：三角形的任意两边之和大于第三边；探究二：在上；证明见解析；拓展应用：（1）作图见解析；（2）；（3）；

【分析】探究一：根据三角形的三边关系可得答案；

探究二：利用直角三角形斜边上的中线的性质证明即可得到答案；

拓展应用：（1）连接，交于点，以为圆心，为半径作圆即可；

（2）结合矩形性质与勾股定理计算即可；

（3）作的垂直平分线，交于，交于，可得四边形，是两个全等的矩形，，用两个等圆完全覆盖矩形，可得两圆一定过，再进一步解答即可.

【详解】解：探究一：

理由如下：易知线段的最小覆盖圆一定经过点、点．如图①，以为直径作，再过、两点作（与不重合），连结．在中，有（三角形的任意两边之和大于第三边）．

，

，即的直径大于的直径．

是线段的最小覆盖圆．“”处应填写的推理依据为三角形的任意两边之和大于第三边．

故答案为：三角形的任意两边之和大于第三边；

探究二：∵，为的中点，

∴，

∴在上；

拓展应用：（1）如图，即为矩形的最小覆盖圆；

（2）∵矩形，，，

∴，；

（3）作的垂直平分线，交于，交于，

∴四边形，是两个全等的矩形，

∴，

∵用两个等圆完全覆盖矩形，

∴两圆一定过，

连接，交点分别为，

同理可得：这样的两个等圆的最小直径为或或或，

∴最小直径为，

如图，作的垂直平分线交于，

同法作，，此时不是直径最小的等圆；

综上：用两个等圆完全覆盖矩形．则这样的两个等圆的最小直径为.

【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，点与圆的位置关系，多边形的外接圆的含义，矩形的判定与性质，熟练的作图是解本题的关键.

23．(1)

(2)

(3)证明见解析

(4)的长为或.

【分析】（1）利用勾股定理计算即可；

（2）如图，求解，，证明，结合，可得，再进一步求解即可；

（3）证明，结合，，从而可得结论；

（4）如图，当在的左边时，结合题意可得：，，，过作于，过作于，可得，结合（1）可得：，证明，可得，再进一步解得即可；如图，当在的右边时，过作于，过作于，同法可得答案.

【详解】（1）解：∵在中，，，

∴；

（2）解：如图，在中，，，点为边的中点，

∴，，

∵，

∴，而，

∴，

∴；

（3）证明：∵旋转，

∴，

如图，∵，，

∴，

∵，，

∴；

（4）解：如图，当在的左边时，结合题意可得：，，，

过作于，过作于，

∴四边形为矩形，

∴，

结合（1）可得：，

∵，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴；

如图，当在的右边时，过作于，过作于，

同理：，

四边形四边形为矩形，

∴，

∵，

∴，

∴，，

同理可得：，，

∴；

综上：的长为或.

【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键.

24．(1)

(2)

(3)或

(4)

【分析】（1）根据待定系数法，将点代入即可求解．

（2）通过抛物线对称轴公式确定对称轴，利用对称点横坐标中点在对称轴上求m值，再根据点关于点对称的中点公式求对称点坐标．

（3）根据抛物线顶点及开口方向，确定区间与顶点位置关系，分情况讨论最高点坐标，利用纵坐标差建立方程求解．

（4）根据平行线的性质，先分析条件可得点在之间，利用中点公式计算求出各点的坐标，再计算直线的解析式，根据点分别在上时，取得临界值，求得的值，即可求解．

【详解】（1）将点代入中得：

解得：，

∴．

（2）根据抛物线对称轴公式可知：

抛物线的对称轴为，

∵、关于对称轴对称，且横坐标分别为、，

∴、中点在对称轴上，

∴，

，

解得：，

∵点是该抛物线上的点，

将代入抛物线解析式得，

，

即

设是A关于的对称点，则：

解得，，

∴点坐标为．

（3）∵抛物线顶点为，开口向上，，，

当时，包含，最低点为。

当时，，最高点为A，纵坐标差为：，

解得：；

当时，，最高点为B，纵坐标差为：，

解得：．

综上，m的值为或．

（4）∵点是点关于点的对称点，点是点关于点的对称点，结合题意可知：

∴，，，，

∴，，，，

如图，四边形是平行四边形，当点在之间，的左侧，过点作

∴

∴

∴

当点在上时，

∴

∴

解得，

当点在上时

∴，

∴，

∴，

解得，．

其中，，时，如图，经检验符合，

综上，．

【点睛】本题主要考虑二次函数的解析式、二次函数的图象和性质、二次函数的最值、平行四边形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．