山东大学 2025 年强基计划数学试题
来源：好师来学科网一帆 ~ 整理
该套试题是山东大学 2025 年强基计划数学试题，共 8 道题，涵盖对数、数列通项、三角函数、解三角形、排列组合、椭圆性质、函数证明等多个知识点。题目注重知识综合应用与逻辑推理，如通过对数关系结合整数条件求差值、利用递推关系求数列通项、借助三角恒等式求三角函数值等，同时涉及函数凸性证明等较具深度的内容，全面考查学生数学素养与解题能力。
1、已知$a,b,c,d \in \mathbb{Z}_{+}$，有$\log_{a}b = \frac{3}{2}$，$\log_{c}d = \frac{5}{4}$，$a - c = 9$，求$b - d$的值。
2、已知数列$\{a_n\}$，有$a_1 = 1$，$a_{n+1} = \frac{2a_n}{3a_n + 1}$，求通项$a_n$。
3、已知$x,y \in \mathbb{R}$，$\sin x + \sin y = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos x + \cos y = \frac{\sqrt{6}}{2}$，求$\sin(x + y)$的值。
4、在$\triangle ABC$中，$\tan A = \frac{1}{2}$，$\tan B = \frac{1}{3}$，最长边的边长为1，求最短的边长。
5、将10个不同的球放入编号1，2，3的3个盒子，要求每个盒子内的球数不少于盒的编号，求放法种数。
6、已知椭圆$C: \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$，$A,B$为椭圆上两点，$O$为原点，有$OA \perp OB$，求$S_{\triangle ABO}$最小值。
7、已知$n \in \mathbb{Z}_{+}$，$k_1,k_2,\cdots,k_n \in \mathbb{R}$，满足对$\forall x \in \mathbb{R}$，有$k_1\cos x + k_2\cos 2x + \cdots + k_n\cos nx = 0$恒成立，证明：$k_1 = k_2 = \cdots = k_n = 0$。
8、设$f(x)$的定义域为$\mathbb{R}$，且对$\forall \lambda_1,\lambda_2 \geq 0$，$\lambda_1 + \lambda_2 = 1$及$\forall x_1,x_2 \in \mathbb{R}$，有
$$f(\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2) \leq \lambda_1 f(x_1) + \lambda_2 f(x_2)$$
9、对$\forall \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n \geq 0$（$n \geq 2$，$\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = 1$），及$\forall x_1,x_2,\cdots,x_n \in \mathbb{R}$，证明：
$$f(\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 + \cdots + \lambda_n x_n) \leq \lambda_1 f(x_1) + \lambda_2 f(x_2) + \cdots + \lambda_n f(x_n)$$
10、 设$x_1 < x_2 < x_3 < x_4$，证明：$\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \leq \frac{f(x_4) - f(x_3)}{x_4 - x_3}$。