东南大学2025强基计划招生数学试题

这些题目涵盖数学多领域，有代数中的函数迭代、不等式恒成立、数列递推与最值；几何里的三角形形状判断、四面体体积、平面四边形内点的个数；还有数论中的倍数与连续自然数问题、方程解的个数；以及三角函数求值、积分证明、概率计算等。题目综合性强，涉及多种数学思想方法，适合数学竞赛或深度数学学习者探究，能锻炼逻辑推理、运算求解与综合分析能力。

1. 设将长度为3的线段分成3段，长度分别为\(x,y,3 - x - y\)，则分成的3段恰好能拼成三角形的概率为\(\boxed{P}\)，需满足\(\begin{cases}x>0\\y>0\\3 - x - y>0\\x + y>3 - x - y\\x + (3 - x - y)>y\\y + (3 - x - y)>x\end{cases}\)，求\(P\)。

2. 在\(1\)到\(2025\)中，恰好是\(3,5,7\)中两个数的倍数的数有多少个？

3. 若\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)，求\(k\)的最大值，使得\(\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{abc}\geq k\)恒成立。

4. 已知\(f(x)=\frac{2(1 - x)}{(x^{2}-2x + 4)^{2}}\)，设\(f^{(n)}(x)=f(f^{(n - 1)}(x))\)，若\(f^{(1)}(x)=f(x)\)，求\(f^{(99)}(0)\)。

5. 若\(\frac{\sin C}{c}=\frac{\cos B}{2a}=\frac{\cos A}{3b}\)，则判断\(\triangle ABC\)的形状。

6. 求值：\(\arctan\frac{1}{\sqrt{2}}+\arctan\frac{2}{\sqrt{13}}+\arctan\frac{3}{\sqrt{34}}+\arctan\frac{4}{\sqrt{65}}\)

7. 方程\(e^{\sin x}=\pi\cos x\)在\([0,4\pi]\)上的解的个数有多少个？

8. 已知六位数\(\overline{abcdef}\)，若\(4\overline{abcdef}=\overline{defabc}\)，求\(\overline{abcdef}\)。

9. 在任意平面凸四边形\(ABCD\)中，求\(P\)点个数的最大值，使得\(S_{\triangle PAB}=S_{\triangle PBC}=S_{\triangle PCD}=S_{\triangle PDA}\)。

10. 数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)，满足\(nS_{n}=(n + 1)S_{n + 1}+2n(n^{2}-1)\)，若\(a_{1}=-50\)，求\(n\)的值，使得\(\frac{S_{n}}{a_{n}}\)取最小值。

11. 已知首项为\(2\)的等差数列\(\{a_{n}\}\)，满足\(a_{3},a_{5},a_{9}+6\)成等比数列，若\(\sum_{i = 1}^{n}a_{i}b_{i - 1}=3^{n}-1\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和。

12. 设\(f(x)\)是\(\mathbb{R}\)上的单调函数，满足\(f\left[f(x)+\frac{2}{x}\right]=1\)，求\(f(1)\)的值。

13. 已知直线\(\frac{x}{n}+\frac{y}{m}=1\)和\(x^{2}+y^{2}=400\)的交点都是整点，且满足\(\frac{1}{m^{2}}+\frac{1}{n^{2}}\geq\frac{1}{256}\)，则这样的直线有几条。

14. 四面体\(ABCD\)满足\(AC = AD = BC = BD = 3\)，求四面体\(ABCD\)的体积的最大值。

15. 若存在连续3个自然数恰好分别是5,8,11的倍数，求这三个自然数中最大数的最小值。