北京大学 2025 年强基计划校测数学试题汇编，2026年考生参考
来源：好师来学科网一帆 ~ 整理
本试题集为北京大学 2025 年强基计划校测数学真题，共 20 道题目，涵盖代数、几何、三角函数、复数、数列、组合数学等核心模块。试题聚焦学科本质，注重逻辑推理与综合应用，既考查基础知识点的扎实程度，又凸显选拔性特质，适配强基计划对拔尖人才的选拔需求。题目设计兼具深度与灵活性，从取值范围、最值求解到方程根的性质、集合计数等，全面检验考生的数学思维与解题能力，是备战强基计划校测的优质备考资料。
1. 已知 \( x^2 - y^2 = 1 \)，求 \( \frac{1}{x^2} - \frac{y}{x} \) 的取值范围.
2. 求椭圆 \( x^2 - 2xy + 2y^2 = 4 \) 的面积.
3. 求 \( \sqrt{3 - 2x} + \sqrt{3x} \) 的最大值与最小值之和.
4. 求 \( \sqrt{x^2 - 2x + 10} - \sqrt{x^2 - 4x + 5} \) 的值域.
5. 满足 \( \overline{ab} = a^2 + b^3 \) 的两位数的个数.
6. 已知 \( P(x) = x^3 + bx^2 + cx + d \)，且 \( P(1) = 2025 \)，\( P(2) = 4050 \)，求 \( P(5) - P(-2) \).
7. 已知 \( z_1 \) 在 \( 2 \) 与 \( 2i \) 的线段上，\( |z_2| = 1 \)，求 \( z_1 + 2z_2 \) 在复平面上扫过的面积.
8. 已知 \( a^{a^2} = 3 \)，求 \( a^6 \).
9. 已知 \( 2x^2 + y^2 = 1 \)，求 \( x + 2y \) 最大值.
10. 已知 \( |2\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a} + 2\vec{b}| = 1 \)，求 \( |3\vec{a} + 4\vec{b}| \) 的最大值.
11. 求 \( \frac{xy + 2yz}{x^2 + y^2 + z^2} \) 的最大值.
12. 使得 \( x^{2025} = 2025 - ax = 2026 - bx \) 有解的 \( (a, b) \) 有几组.
13. 若 \( \alpha、\beta \) 是 \( 3\cos x + 2\sin x = c \) 的两解，且 \( \alpha + \beta \neq k\pi \)，求 \( \tan(\alpha + \beta) \).
14. \( \sum_{i=1}^{1012} (-1)^{i+1}\cos\frac{i\pi}{2025} = \)
15. 满足各位数字由 \( 2、4、6、8 \) 组成，且含偶数个 \( 2 \) 的 \( 2025 \) 位数有几个.
16. \( S = \{1, 2, \cdots, 2025\} \)。满足 \( A, B \subseteq S \)，\( A \cap B \neq \varnothing \) 的二元集 \( \{A, B\} \) 有几个.
17. 求 \( \sum_{n=1}^{2025} [\log_2 n] \).
18. \( z^6 + z^4 + z^3 + z^2 + 1 = 0 \) 所有正虚部的根之积为 \( P \)，则 \( \arg(P) \).
19. \( x^3 + ax^2 - (1 - a)^2 = 0 \)，\( x_1 \neq x_2 \neq x_3 \)，\( \sum \frac{x_1}{x_2x_3} > \frac{5}{2} \)，则 \( a \) 的取值范围为.
20. \( \triangle ABC \) 中，\( D \) 在 \( BC \) 上，\( AD \) 平分 \( \angle BAC \)，\( AB = AD = 2 \)，\( BD = 1 \)，求 \( CD \).