2025年福建中考数学试题及答案

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1．下列实数中，最小的数是（    ）

A． B．0 C． D．2

2．中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

3．若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（    ）

A． B． C．0 D．2

4．福建博物院收藏着一件“镇馆之宝”——云纹青铜大绕，如图1．云纹青铜大绕是西周乐器，鼓饰变形兽面纹，两侧饰云雷纹，浑大厚重，作风稳重古朴，代表了福建古代青铜文化曾经的历史和辉煌．图2为其示意图，它的主视图是（    ）

A． B． C． D．

5．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ）

A． B．

C． D．

6．在分别写有，1，2的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（    ）

A． B． C． D．

7．某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ）

A． B． C． D．

8．为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（    ）

A． B． C． D．

9．如图，与相切于点A，的延长线交于点C．，且交于点B．若，则的大小为（    ）

A． B． C． D．

10．已知点在抛物线上，若，则下列判断正确的是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．

11．为响应“体重管理年”有关倡议，小敏对自己的体重进行了跟踪统计．为方便记录，他将体重增加记作，那么体重减少应记作      ．

12．某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为      m．

13．若反比例函数的图象过点，则常数      ．

14．如图，菱形的对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F．若，则与的面积之和为      ．

15．某公司为选拔英语翻译员，举行听、说、读、写综合测试，其中听、说、读、写各项成绩（百分制）按的比例计算最终成绩．参与选拔的甲、乙两位员工的听、说、读、写各项测试成绩及最终成绩如下表：

由以上信息，可以判断A，B的大小关系是A      B．（填“>”“=”或“<”）

16．弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为，其中g为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为      千克．

三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．计算：

18．如图，点E，F分别在的延长线上，．求证：．

19．先化简，再求值：，其中．

20．甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息．

信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分）

其中，甲、乙成绩的平均数分别是；方差分别是．

信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分）

试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题：

(1)计算a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价；

(2)计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适；

(3)若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？

21．如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G．

(1)求的大小；

(2)求证：是等边三角形．

22．如图，矩形中，．

(1)求作正方形，使得点E，G分别落在边上，点F，H落在上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

(2)若，求（1）中所作的正方形的边长．

23．在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点．

(1)求的值；

(2)已知二次函数的最大值为．

①求该二次函数的表达式；

②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：．

24．阅读材料，回答问题．

(1)解决问题1；

(2)请把①②所缺的证明过程补充完整；

(3)解决问题2．

25．如图，四边形ABCD内接于，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD相交于点F．G是AB上一点，GD交AC于点H，且．

(1)求证：；

(2)求证：；

(3)若，求的周长．

1．A

【分析】本题考查比较实数的大小，首先确定各数的正负性，再按负数小于0小于正数的顺序比较大小即可．

【详解】解：∵，

∴最小的数为；

故选：A

2．D

【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可．

【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；

B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，符合题意；

故选D．

3．D

【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，解不等式即可确定x的取值范围，进而选出正确选项．

【详解】解：要使在实数范围内有意义，

需满足被开方数，

解得．

∴符合．

故选：D．

4．A

【分析】本题考查了几何体的三视图，从前面看到的图形是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左边看到的图形是左视图．根据主视图是从前面看到的图形解答即可．

【详解】解；A是该几何体的主视图，B，C，D不是该几何体的三视图．

故选A．

5．C

【分析】本题考查求不等式的解集，在数轴上表示解集，先求出不等式的解集，定边界，定方向，表示出不等式的解集即可．

【详解】解：，

，

，

∴；

在数轴上表示如图：

故选C．

6．B

【分析】本题考查列表法求概率，列出表格，利用概率公式进行计算即可．

【详解】解：由题意，列表如下：

共有6种等可能的结果，其中两张卡片上的数恰好互为相反数的情况有，两种，

∴；

故选：B．

7．B

【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键．

【详解】解：∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴；

故选：B．

8．C

【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列出方程即可．

【详解】解：设设矩形的一边长为x米，则另一边长为米，由题意，得：

；

故选：C．

9．C

【分析】本题考查切线的性质，等边三角形的判定和性质，连接，，切线得到，求出，平行，得到，进而得到为等边三角形，推出为等边三角形，即可得出结果．

【详解】连接，，则：，

∵与相切于点A，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴为等边三角形，

∴，

∴，

∴为等边三角形，

∴，

故选C．

10．A

【分析】本题考查比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键，先求出对称轴的范围，再根据二次函数的增减性进行判断即可．

【详解】解：∵，

∴当时，，

∴抛物线过点，

∴抛物线的开口向上，对称轴为，

∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，

∵，

∴，

∵，，

∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，小于到对称轴的距离，

∴；

故选：A．

11．

【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，增加为正，则减少为负，进行作答即可．

【详解】解：体重增加记作，那么体重减少应记作；

故答案为：．

12．4

【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解题的关键．根据，得出为直角三角形，根据直角三角形的性质得出．

【详解】解：∵，

∴为直角三角形，

∵E是斜梁的中点，

∴．

故答案为：4．

13．

【分析】本题考查求反比例函数的解析式，待定系数法求出值即可．

【详解】解：∵反比例函数的图象过点，

∴；

故答案为：．

14．1

【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，根据菱形的性质求出，，然后证明即可求解．

【详解】解：∵菱形，，

∴，，，

∴，．

∵，

∴，

∴，

∴，

故答案为：1．

15．>

【分析】本题考查了加权平均数的计算，能够掌握计算公式且准确计算是解决问题的关键．利用加权平均数的计算公式求解即可．

【详解】解：∵，

∴．

∵，

∴．

∵，

∴．

故答案为；．

16．0.8

【分析】本题主要考查了胡克定律的应用，熟练掌握胡克定律（其中为弹力，为劲度系数，为弹簧伸长或压缩量 ）及重力与质量的关系是解题的关键．先根据已知条件求出弹簧的劲度系数，再利用胡克定律求出弹簧长度为厘米时所挂物体的质量．

【详解】解：不挂物体时弹簧长度厘米，挂质量千克物体时，弹簧长度厘米，则弹簧伸长量(厘米)．

物体重力（为常量），根据胡克定律，可得，即，解得．

当弹簧长度厘米时，弹簧伸长量(厘米)．

设此时所挂物体质量为千克，则，因为，所以，两边同时除以，得．

故答案为：．

17．

【分析】本题考查实数的混合运算，涉及二次根式的化简、零指数幂、化简绝对值等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．原式利用二次根式性质，零指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可得到结果．

【详解】解：

．

18．见解析

【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、补角的性质等基础知识，考查推理能力、几何直观等．先证明，证明，即可得出结论．

【详解】证明：，

．

在和中，

，

，

．

19．，

【分析】本题考查分式的混合运算、分母有理化等知识．先把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简，再把代入即可即可．

【详解】解：

．

当时，

原式．

20．(1)，见解析

(2)甲，见解析

(3)选甲更合适．理由见解析

【分析】本小题考查平均数、方差，正确求出乙的方差是解答本题的关键．

（1）先求出乙的方差，然后比较即可；

（2）先求出五年获奖的平均数，然后根据甲、乙十次测试成绩达到平均成绩的频数多少判断即可；

（3）根据甲乙成绩的变化趋势分析即可．

【详解】（1），即．

因为，

所以，

所以甲、乙两人的整体水平相当，但乙的成绩比甲稳定．

（2）由已知得，获奖分数线的平均数为，

从信息一可知，在集训期间的十次测试成绩中，甲达到获奖分数线的平均数的频数为4，而乙的频数为1，所以甲获奖的可能性更大，故选甲参加更合适．

（3）选甲更合适．理由：在集训期间的十次测试成绩中，甲呈上升趋势，而乙基本稳定在原有的水平，故从发展潜能的角度考虑，选甲更合适．

21．(1)

(2)见解析

【分析】（1）等边三角形的性质推出，垂直，得到，角的和差关系求出的大小即可；

（2）平移得到，进而得到，角的和差关系推出，进而得到，根据，推出垂直平分，进而得到，推出，进而得到是等边三角形即可．

【详解】（1）解：是等边三角形，

．

D是的中点，

．

，

，

．

（2）由平移可知：，

，

又，

，

∴，

又，

垂直平分，

，

由（1）知，，

，

，

是等边三角形．

【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的基本性质、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等基础知识，考查空间观念、几何直观与推理能力，考查化归与转化思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．

22．(1)见解析

(2)

【分析】（1）作的中垂线交于点，交于点，以为直径画圆，交于点，即可得到正方形；

（2）勾股定理求出的长，进而求出的长，证明，求出的长，再根据正方形的性质，结合勾股定理求出的长即可．

【详解】（1）解：如图，四边形就是所求作的正方形．

由作图可知，，，

∵矩形，

∴，

∴，，

∴，

∴，

由作图可知，，

∴四边形为矩形，

∵，

∴四边形为正方形；

（2）由（1）知：，，

四边形是矩形，

，

在中，，

，

．

，

．

又，

，

，即，

．

在中，，

，

∴正方形EFGH的边长为．

【点睛】本题考查尺规作图、矩形的性质、线段垂直平分线的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，考查推理能力、运算能力、几何直观与空间观念，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．

23．(1)

(2)①；②见解析

【分析】本题考查了二次函数表达式、二次函数的图象与性质、一元二次方程．

（1）根据二次函数的对称性求解即可；

（2）①先求出顶点坐标，然后根据最大值为列方程求解即可；

②先根据二次函数的对称性求出，然后把通分后代入即可求解．

【详解】（1）解：二次函数的图象的对称轴为．

因为点在该函数的图象上，

所以，

所以，

所以．

（2）①由（1）可得，，

所以该函数的表达式为，

函数图象的顶点坐标为．

因为函数的最大值为，

所以，且，

解得，或（舍去）．

所以该二次函数的表达式为．

②因为点在函数的图象上，

所以．

由①知，点关于直线对称，不妨设，

则，即．

所以

，

所以．

24．(1)小明的猜想不正确，反例：

(2)见解析

(3)当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是；当A的数字小于B的数字时，的位数是

【分析】（1）举反例即可；

（2）①当且时，可得，得，不合题意；

②当且时，可得，可得，得，即得．

（3）设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则．当时，必有，，即；当时，必有，，即．

【详解】（1）解：小明的猜想不正确．

反例：．

（2）证明：①，所以，所以，与（*）矛盾，不合题意；

②，所以，又，所以，

由（*）知，所以．

（3）解：当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是；

当A的数字小于B的数字时，的位数是．

证明如下：

由已知，A，B的位数分别为m，n，

设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则．

由小华的命题知，当时，必有，

此时，，所以；

当时，必有，

此时，，所以．

综上所述，当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是；

当A的数字小于B的数字时，的位数是，

【点睛】本小题考查判断命题的真假，科学记数法，整数指数幂，幂的运算，不等式的基本性质，代数推理等基础知识，熟练掌握是解题的关键．

25．(1)见解析

(2)见解析

(3)

【分析】（1）利用得，结合同弧所对圆周角，再根据三角形外角性质，完成证明 ．

（2）先证得，再通过角的等量代换证，推出，从而得．

（3）利用（2）结论将周长转化为，通过相似三角形及三角函数、勾股定理求出的长，即周长为．

【详解】（1）证明：，

．

，

，

．

，

．

（2）证明：，

．

，

，

又，

，

，

．

由（1）知，，

又，

，

．

，

．

∵，

，

，

，

．

（3）解：由（2）知，，

的周长为．

设，则．

由（2）可知，．

又，

，

，

，

．

又，

，

．

过点C作，垂足为P，则．

四边形是圆内接四边形，

，

又，

，

．

在中，，即．

，

，

，

．

在中，，

，

解得，或（舍去）．

．

的周长为．

【点睛】本题考查圆的性质、等腰三角形、相似三角形、解直角三角形等知识，通过角与边的转化、相似三角形判定与性质解题，关键是利用圆的性质和三角形知识进行边角关系推导．