2025年甘肃中考数学试题及答案

考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效．

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．

1.（  ）

A. B. C. D. 3

2. 根据国家统计局的数据，2024年中国生产芯片约451420000000颗，彰显了中国芯片产业的强大实力．数据451420000000用科学记数法可以表示为（  ）

A. B. C. D.

3. 下列计算正确的是（  ）

A. B. C. D.

4. 如图1，三根木条a，b，c相交成，，固定木条b，c，将木条a绕点A顺时针转动至如图2所示，使木条a与木条b平行，则可将木条a旋转（  ）

A B. C. D.

5. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（  ）

A. B. C. D.

6. 如图，一个多边形纸片的内角和为，按图示的剪法剪去一个内角后，所得新多边形的边数为（  ）

A. 12 B. 11 C. 10 D. 9

7. 如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（  ）

A. B. C. D.

8. 习近平总书记致首届全民阅读大会举办的贺信指出：阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气．中华民族自古提倡阅读，讲究格物致知、诚意正心，传承中华民族生生不息的精神，塑造中国人民自信自强的品格．如图是某网站连续多年对其用户书籍阅读量的统计图，下列结论错误的是（  ）

A. 2022年，人均纸质书籍阅读量为5本

B. 2023年，人均电子书籍阅读量为11本

C. 2024年，人均电子书籍阅读量是人均纸质书籍阅读量的3倍

D. 2016年至2024年，人均电子书籍阅读量逐年上升

9. 如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（  ）

A. B. C. D.

10. 如图1，在等腰直角三角形中，，点D为边的中点．动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（  ）

A. 2 B. 2.5 C. D. 4

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．

11因式分解：______．

12. 方程的解是_______．

13. 已知点，在反比例函数的图象上，如果，那么_______（请写出一个符合条件的k值）．

14. 如图，把平行四边形纸片沿对角线折叠，点B落在点处，与相交于点E，此时恰为等边三角形．若，则_______．

15. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录．为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝两条对角线长的和为________．

16. 勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有_______个正方形．

三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 计算：．

18. 解不等式组：

19. 化简：．

20. 如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高．现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图．如图3，已知月洞门的横跨为，拱高的长度为a．作法如下：

①作线段的垂直平分线，垂足为D；

②在射线上截取；

③连接，作线段的垂直平分线交于点O；

④以点O为圆心，的长为半径作．

则就是所要作的圆弧．

请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）．

21. 如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成3个扇形，分别涂有“红、白、蓝”三种颜色，转盘指针固定．转动转盘、等转盘停止转动后，观察指针所落区域的颜色．若指针落在区域分界线上，则重新转动转盘．

（1）任意转动转盘一次，指针落在红色区域概率为_______；

（2）任意转动转盘两次（第一次转动转盘，等转盘停止转动后，再第二次转动转盘），用画树状图或列表的方法求指针所落区域颜色不同的概率．

22. 如图1，位于嘉峪关的长城第一墩，又称天下第一墩，是明代万里长城最西端的一座墩台，始建于明嘉靖十八年（1539年）．该墩台雄踞于讨赖河峡谷的悬崖之上，扼守丝绸之路咽喉要道，与嘉峪关关城、悬壁长城共同构成河西走廊的军事防御体系．随着岁月的变迁和自然的风化，长城第一墩的高度在慢慢降低．为了解长城第一墩的现存高度，某校同学们开展了“测量长城第一墩高度”的综合实践活动．如图2是他们测量长城第一墩高度AB的示意图，点A为最高点，点B，F，D是地面同一直线上的三个点（点D，F都在保护栅栏外），在D，F处分别用测角仪测得．，，其中（测角仪的高度），，求长城第一墩的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：，，，，，）

四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

23. 某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛．在最近10次的选拔赛中，他们的射击成绩（单位：环）信息如下：

信息一：甲、乙队员的射击成绩

甲：10，8，8，10，6，8，6，9，10，8

乙：8，9，10，9，6，7，7，9，10， 8

信息二：甲、乙队员射击成绩的部分统计量

根据以上信息，回答下列问题：

（1）写出表中m，n的值：_______，_______；

（2）_______队员在射击选拔赛中发挥的更稳定（填“甲”或“乙”）；

（3）小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样，推荐哪位队员参赛都可以．你认为他说的对吗？请说明理由（写出一条合理的理由即可）．

24. 如图，一次函数的图象交x轴于点A，交反比例函数的图象于点．将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象交x轴于点C．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）当的面积为3时，求m的值．

25. 如图，四边形的顶点A，B，C在上，，直径与弦相交于点F、点D是延长线上的一点且．

（1）求证：是的切线；

（2）若四边形是平行四边形，．求的长．

26. 四边形是正方形，点E是边上一动点（点D除外），是直角三角形，，点G在的延长线上．

（1）如图1，当点E与点A重合，且点F在边上时，写出和的数量关系，并说明理由；

（2）如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形内部时，的延长线与的延长线交于点P，如果，写出和的数量关系，并说明理由；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接，写出和的数量关系，并说明理由．

27. 如图1，抛物线分别与x轴，y轴交于A，两点，M为的中点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）连接，过点M作垂线，交于点C，交抛物线于点D，连接，求的面积；

（3）点E为线段上一动点（点A除外），将线段绕点O顺时针旋转得到．

①当时，请在图2中画出线段后，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上，说明理由；

②如图3，点P是第四象限一动点，，连接，当点E运动时，求的最小值．

参考答案

考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效．

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．

【1题答案】

【答案】D

【2题答案】

【答案】C

【3题答案】

【答案】D

【4题答案】

【答案】A

【5题答案】

【答案】B

【6题答案】

【答案】A

【7题答案】

【答案】C

【8题答案】

【答案】C

【9题答案】

【答案】B

【10题答案】

【答案】A

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．

【11题答案】

【答案】##

【详解】解：；

故答案为：．

【12题答案】

【答案】

【详解】解：，

去分母，得：，

解得：；

经检验是原方程的解，

故答案为：．

【13题答案】

【答案】1（答案不唯一）

【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上，

又∵，，

∴在同一象限内随着的增大而减小，

∴双曲线过一，三象限，

∴，

∴（答案不唯一）；

故答案为：1（答案不唯一）．

【14题答案】

【答案】12

【详解】解：∵折叠，

∴，

∵平行四边形纸片，

∴，

∴，

∴，

∵为等边三角形，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴；

故答案为：12

【15题答案】

【答案】195

【详解】解：小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为，

大风筝和小风筝相似，相似比为，

大风筝两条对角线长：小风筝两条对角线长，

大风筝两条对角线的长分别为和，

大风筝两条对角线长的和为，

故答案为：195．

【16题答案】

【答案】31

【详解】解：由图可知：第一个图形有1个正方形，

第2个图形有个正方形，

第3个图形有个正方形，

∴第5个图形中共有个正方形，

故答案为：31．

三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

【17题答案】

【答案】

【详解】解：原式

．

【18题答案】

【答案】

【详解】解：，

解不等式①，得：，

解不等式②，得，

不等式组的解集为．

【19题答案】

【答案】

【详解】解：原式

．

【20题答案】

【答案】图见解析

【详解】解：由题意，作图如下，即为所求；

【21题答案】

【答案】（1）   

（2）

【详解】（1）解：由图可知，任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率为；

故答案为：；

（2）列表：

共有9种等可能结果，颜色不同的结果有6种，

．

【22题答案】

【答案】长城第一墩的高度为

【详解】解：由题意，得：，，

设，

在中，，

在中，，

∵，

∴，

解得：，

∴，

∴；

答：长城第一墩的高度为．

四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

【23题答案】

【答案】（1）   

（2）乙   （3）不对，理由见解析（答案不唯一，合理即可）

【详解】（1）解：乙中数据排序后，第5个和第6个数据分别为：和，

∴；

甲中数据出现次数最多的是，故；

故答案为：；

（2）由表格可知：甲的方差大于乙的方差，

∴乙队员在射击选拔赛中发挥的更稳定；

故答案为：乙；

（3）小瑜说的不对，理由如下：

两人成绩的平均数相同，但是甲的方差大于乙的方差，故乙队员发挥更稳定，故应选乙队员参赛．

【24题答案】

【答案】（1）   

（2）

【详解】（1）解：由题意得：点在一次函数的图象上，

∴，

∴；

∵在反比例函数的图象上，

∴，

∴反比例函数的表达式为；

（2）解：对于一次函数，令，则；

∴；

一次函数的图象向下平移个单位长度后的解析式为：；

对于一次函数，令，则；

∴；

∴；

解得：

【25题答案】

【答案】（1）见解析   （2）

【详解】（1）证明：如图1，连接，

，，

．

，

．

是的直径，

，即．

，

，即．

为的半径，

是的切线．

（2）解：如图2，

四边形是平行四边形，

．

又，

，

．

，

是菱形，

．

为等边三角形，

∴．

在中，．

【26题答案】

【答案】（1），理由见解析   

（2），理由见解析   

（3），理由见解析

【详解】（1）解：，理由如下：

∵正方形，

∴，

∵是直角三角形，，

∴，

当点E与点A重合时，则：，

∴，

又∵，

∴，

∴；

（2）∵正方形，

∴，

∵点G在的延长线上，的延长线与的延长线交于点P，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，

在和中，

，

∴，

∴；

（3），理由如下：

由（2）可知：，

∴，，

作于点，则：，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴为的中位线，

∴，

∵，，

∴，

又∵，

∴，

在中，由勾股定理，得：，

∵，

∴．

【27题答案】

【答案】（1）   

（2）   

（3）①，在抛物线上②

【详解】（1）解：把，代入，得：

，

解得：，

∴；

（2）当时，则：，

∴，

∵是的中点，

∴，

∴，

∵，

∴设直线的解析式为：，把，代入，得：，

∴，

∵点M作的垂线，交于点C，交抛物线于点D，

∴，，

∴，

∴的面积；

（3）①由题意，作图如下：

连接，作于点，

由（2）可知：，

∴，

∵旋转，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，，

∵，

∴为等腰直角三角形，

∴，

∴，

∴，

对于，当时，，

∴点在抛物线上；

②连接并延长，交轴于点，连接，作于点，如图，

∵，为的中点，

∴，

∵，

∴当三点共线时，最小，

同①可得，，

∴点在射线上运动，

∴当时，即与点重合时，最小，此时最小为，

∵，

∴为等腰直角三角形，

∴，，

∴，为等腰直角三角形，

∴，

∴的最小值为．